Линейность определенного интеграла

Если $f(x)$ и $g(x)$ - интегрируемы на $[a, b]$, то $\forall{\alpha, \beta \in \mathbb{R}}\mathpunct{:}~ (\alpha f(x) + \beta g(x))$ - тоже интегрируема и: $$\int_{a}^{b} \alpha f(x) + \beta g(x) \, dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \beta \int_{a}^{b} g(x) \, dx$$

$$\begin{align} S(\alpha f + \beta g) &= \sum_{k=0}^{n-1} (\alpha f(\xi_{k}) + \beta g(\xi_{k}))\Delta x_{k} = \alpha \sum_{k=0}^{n-1} f(\xi_{k})\Delta x_{k} + \beta \sum_{k=0}^{n-1} g(\xi_{k})\Delta x_{k} \\ &= \alpha S(f) + \beta S(g) \end{align}$$ Возьмём $\forall{\varepsilon > 0}~~ \exists{\delta}~~ \forall{\tau}\mathpunct{:}~~ \lambda(\tau) < \delta$, тогда: $$|S(f) - I_{f}| < \dfrac{\varepsilon}{|\alpha| + |\beta| + 1},~~~~~ |S(g) - I_{g}| < \dfrac{\varepsilon}{|\alpha| + |\beta| + 1}$$ Значит: $$\begin{align} |S(\alpha f + \beta g) - (\alpha I_{f} + \beta I_{g})| &= |\alpha S(f) + \beta S(g) - (\alpha I_{f} + \beta I(g))| \\ &\leq |\alpha| |S(f) - I_{f}| + |\beta| |S(g) - I_{g}| \\ &< \dfrac{|\alpha| + |\beta|}{|\alpha| + |\beta| + 1} \cdot \varepsilon < \varepsilon \end{align}$$ $\square$